Cosinus et sinus de 5pi/12

Énoncé

Soit $z_1=\sqrt{3}+i\sqrt{3}$ , $z_2=\sqrt{6}-\sqrt{2}i$ et $Z={\displaystyle \frac{z_1}{z_2}}$ .

1. Calculer de deux manières différentes la forme algébrique de $Z$ .

2. En déduire que $\cos \left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}}$ et que $\sin \left({\displaystyle \frac{5\pi }{12}}\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$ .

3. En utilisant ce qui précède et la formule d'addition (donnant $\cos (a+b)$ pour $a$ et $b$ réels), résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation : $(\sqrt{6}-\sqrt{2})\cos (x)-(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sin (x)=-2\sqrt{3}$ .