Cosinus et sinus de 5pi/12

Énoncé

Soit \(z_1=\sqrt{3}+i\sqrt{3}\) , \(z_2=\sqrt{6}-\sqrt{2}i\) et \(Z=\dfrac{z_1}{z_2}\) .

1. Calculer de deux manières différentes la forme algébrique de \(Z\) .

2. En déduire que \(\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\) et que \(\sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)=\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\) .

3. En utilisant ce qui précède et la formule d'addition (donnant \(\cos(a+b)\) pour \(a\) et \(b\) réels), résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation : \((\sqrt{6}-\sqrt{2}) \cos(x) -(\sqrt{6}+\sqrt{2})\sin(x) =-2\sqrt{3}\) .